開成　算数　対策　２０１８年

（１）入試結果

 

開成が、２０２０年大学入試改革に向けた、実験的な出題を試み始めて、３年目になります。

 

２０１８年・算数は、前年までとうって変わって、易しい出題となりました。

 

（開成中学ホームページより引用・算数85点満点）

 

（２）「出題分野」

 

「平面図形」「立体図形」「速さ」「割合」「場合の数」「数の性質」などから、幅広く出題されています。

 

大問１の小問群は、小問が（７）にまで及び、出題分野も細かく分かれています。

 

（３）難易度

 

全体的に易しく、平均点が前年比２０点ほど上がりました。

 

もっとも、易しいといっても、終盤は作業量の多い問題が出題されていて、ミスが許されない難しさはあります。

 

「出題分野＆難易度マップ」を掲載致します。（難易度はレッツ算数教室の分析によります）

 

Aが最も易しく、BCDEの順に難しくなっていきます。

 

 

それでは、順に見ていきましょう。

 

大問１

 

（１）「計算の工夫」

 

バリバリ方程式のようにも見えますが、左辺の（　）と右辺の（　）の比が求められるので、そうすると、ふつうの相当算で処理できます。

 

0.1875=(1と7/8)×1/10がポイントです。

 

（２）「場合の数」

 

赤、青、黄という漢字を書くのは、時間がかかるので、〇、×、△で表します。

 

そのあとは、対称性を目いっぱい利用しましょう。

 

左端は、〇、×、△の３通りあり、それぞれが対等な立場なので、〇の場合についてすべて調べて、３倍すれば、答えが求められます。

 

では、左端が〇の場合について、次は、×、△の２通りあり、それぞれが対等な立場なので、×の場合についてすべて調べて、２倍（初めからだと、３×２で６倍）すればOKです。

 

左端から順に〇×の場合、次は〇と△ですが、これらは対等ではありません。なぜならば、〇は１回使ったのに対し、△は初登場だからです。

 

そこで、このあたりから、樹形図をコツコツ書き始めます。

 

書いてみると、５通りあるので、結局５×６＝３０通り（答え）

 

（３）「速さ・流水算」

 

上りと下りの時間の比は42:112=3:8。

 

速さの比は3:8。

 

静水での速さは(3+8)÷2=5.5。

 

川の流れる速さは、5.5-3=2.5。

 

5.5÷2.5=2.2倍（答え）

 

（４）「割合・食塩水」

 

Nグラムを求めよう、と考え始めると、混乱します。

 

最終的に、容器Aは1.88%600グラム、容器Bは2.04%400グラムなので、食塩の合計量がわかります。

 

容器Aの最初の食塩の量も、1.62%600グラムから、計算できます。

 

よって、容器Bの最初の食塩の量もわかり、４00で割れば、最初の濃度もわかります。

 

（５）「立体切断・展開図」

 

Dを底面と考え、BCEFをおこすと、立方体が切断された図形であることが、わかります。

 

（６）「平面図形と比」

 

Oから、新しい正六角形の各頂点に向かって、補助線を引きます。

 

６等分された正三角形の面積は、隙間の三角形の面積の３倍。

 

よって、新しい正六角形の面積は、外側の正六角形の面積の４分の３倍です。

 

（７）「平面図形と比」

 

１、三角形AIJの面積は、三角形ABGの面積をBI:IJ:JGで比例配分することによって、求められます。

 

BI:IJ:JGは、三角形の相似を使うことで、求められます。

 

三角形の相似比を求めるには、Gを通り、ADに平行な線を引くとよいでしょう。AB、AE、AFとの交点をL、M、Nとすると、相似が見つかります。

 

２、四角形HIJKの面積は、三角形AIJの面積から、三角形AHKの面積を引くことで、求められます。

 

三角形AHKの面積は、三角形ABDの面積をBH:HK:KDで比例配分することによって、求められます。

 

BH:HK:KDは、三角形の相似を使うことで、求められます。

 

 

以上、大問１（１）～（７）は、すべて易しい定番問題でした。

 

大問２

 

（１）「平面図形」

 

分配法則で要領よく計算しましょう。

 

(3.45+4.21+2.34)×2×3.14÷2＝10×3.14＝31.4（答え）

 

（２）「平面図形・規則性」

 

1÷7＝0.142857142857……

 

よって、１４２８５７が周期です。

 

(1+4+2+8+5+7)×2×3.14÷2=27×3.14=84.78m

 

これが、１周期分の長さ。よって、

 

2018÷84.78=23あまり68.06

 

周期の最後の半径は７なので、3.14×7=21.98。これは、明らかに84.78-68.06より大きいので、２４周期めの６番目の半円上です。

 

6×23+6=144番目（答え）

 

大問２も、易しい定番問題でした。

 

強いて言えば、計算の工夫をしないと、ミスが出るかもしれない、という点があります。

 

あと、「2018÷84.78を、商は整数で、あまりも求めなさい」という問題を解くわけですが、この問題は４年生の時に勉強して、それきり勉強していない、ド忘れした、という人もいたかもしれません。（あまりの小数点をどこに打つか？）

 

基本的すぎて、難しかったかもしれません。

 

大問３「数の性質」

 

「連続する整数による和分解」の問題です。

 

裏技については、当ホームページ内の特設ページで、くわしく解説しています。

 

「算数の成績を上げるには？」＞「和分解の話」（タップ・クリックできます）

 

（１）７マス四方の正方形には、４９マスあります。

 

□種類の整数を使うとすると、

• □が奇数の時は、４９÷□の商が、ちょうど真ん中の整数の個数になります。
• □が偶数の時は、４９÷□の商は小数部分が0.5になり、その前後の整数が中央部分の整数になります。

□は３以上なので、３から順に試していきます。

 

49÷7=7より、真ん中の数は７とわかります。あとは、上に３個、下に３個なので、上は６、５、４。下は８、９、１０。答えは、４～１０。

 

（２）１００マスあります。

 

100÷5=20より、真ん中が２０。上に２個（１９、１８）、下に２個（２１、２２）。

 

よって、１８～２２（答え）

 

100÷8=12.5より、中央部分は、１２と１３。上に３個、下に３個なので、上は１１、１０、９、下は１４、１５、１６。

 

よって、９～１６（答え）

 

（３）30×30＝900より、900マスあります。

 

900÷□を□=３、４、５、６……と試していきます。

 

すると、３、５、８、９、１５、２４、２５……の場合にうまくいくことがわかりますが、さて、この先どこまで調べればよいのでしょうか？

 

まさか、９００まで試し続けるわけにもいきませんし……。

 

900÷40＝22.5の場合もうまくいきますが、中央部分が２２、２３で、上に１９個、下に１９個取るのは、結構ギリギリです。22-19=3より、最も下が３。もう少しで、０に届いてしまいます。

 

900÷45＝20より、真ん中は２０。上に２２個は、取れません。つまり、これより大きい□はないことが、確定です。

 

答えは３、５、８、９、１５、２４、２５、４０。

 

ちなみに、「正方形のマス」は、どうでもいい条件です。「たて１０マス、横９０マスの長方形」でも同じことです。

 

さらに、「ｎはｎ個」も関係ありません。何種類の整数を何個ずつ並べるかが問題なのであって、並べる個数と並べる整数の数が一致している必要性は、まったくありません。

 

でも、何か、「ｎ×ｎは平方数。正方形のマスの個数も平方数。関係あるのか？」と考え込んでしまうかもしれません。

 

個数が決まったときに、書き込む数が自動的に決まるように、「ｎ個のものはｎ」と決めただけです。

大問２（２）、大問３（３）に多少手間がかかる以外は、ありえないほど易しい定番問題ばかりでした。

 

この年の傾向を、開成算数の一般的な傾向と考えるのは、危険です。

 

あくまでも、実験的な出題にとどまるものと心得ておきましょう。

 

ただし、計算や操作に手間がかかるのは、開成の特徴なので、計算練習や、ミスをなくす練習などは、重要です。