開成　算数　対策　２０２２年

（１）入試結果

 

開成２０２２年・算数は、極端に難しくも易しくもなく、ほぼ例年並みの結果となりました。

（開成中学ホームページより引用・算数85点満点）

 

（２）出題分野

 

「立体図形」「場合の数」「速さ・時計算」を中心に出題されています。

 

大問１の小問群では、「数の性質」「平面図形」も出題されています。

 

全体的に計算が煩雑で、作業量が多く、しかも、工夫の余地があります。

 

「効率化の工夫」が、隠れたテーマ、隠れた出題分野とも言えます。

 

また、

• 直観的にパターン認識する問題
• 大まかに見当をつけてから、半端な部分を計算する問題

は、ほとんど出題されていません。

 

逆に、

• ち密な論理を積み上げていく問題

が大きなウエイトを占めています。本年度は、

 

「カンより論理」です。

 

このあたり、超難関校の間でも、微妙に傾向が分かれているところです。

 

（３）難易度

 

昨年度（2021年）に比べると、かなり易しくなったという印象なのですが、その割には、平均点が伸びなかった感があります。

 

原因はいくつか考えられます。

1. 作業量、計算量が多く、時間不足になった（大問１（４）、大問２、大問３、大問４）
2. 中学受験・算数でよく出題される問題にそっくりなため、ほんの少しズラした部分に、気づかなかった（大問１（３）、大問２（２）、大問４）
3. 場合分けが細かく、頭がついていかなかった（大問３）

などです。

 

具体的には、「各論」の解説の中で、ご説明します。

 

出題分野＆難易度マップを掲載致します。（難易度は、レッツ算数教室の分析によります）

 

Aが最も易しく、BCDEの順に難しくなっていきます。

 

 

それでは、順に見ていきましょう。

大問１（１）「計算の工夫」

 

2.02と5.05が、ともに1.01の倍数であることを利用します。

 

両辺を1.01で割ると

 

2÷(   )=5×2.8

 

(   )=2/14=1/7

 

□=(2/3-1/7)×21/8=11/21×21/8=11/8

 

よって、1と3/8（答）

大問１（２）「数の性質」

 

すべての整数が、「1,2,3,4,5,6,7」を1回ずつ用いて表されています。

 

9で割ったときの余りは、各位の数の和を9で割ったときの余りと一致するので、すべて同じ。

 

(1+7)×7÷2=28

28÷9=3あまり1

1×5=5（答）

大問１（３）「場合の数」

 

「4の倍数」の性質は、通常、「下2ケタが4の倍数」と考えます。

 

とりわけ、前問が「9の倍数」の性質の関連問題だったため、その印象にとらわれやすかった可能性があります。

 

そこで、下2ケタが00、04、08、12、16……と考えると、ドツボです。

 

 

4の倍数であるためには、素因数としての2が2個以上含まれていることが必要であり、それで十分です。

 

そこで、素因数としての2が2個の場合、3個の場合……最大8個の場合、と追いかけ始めると、これもまたドツボです。

 

問題文が「目の出方は全部で1296通り」と、誰でもわかることを「あえて」明らかにしていることに注目します。

 

「これは、全体から不都合なものを除きなさい」

 

と言っているようなもの。

 

つまり、素因数としての2が0個の場合、1個の場合を除けばよいわけです。

 

・0個の場合

 

全員が1、3、5のいずれかの場合です。

 

3×3×3×3=81通り

 

・1個の場合

 

1人が2または6。残りの3人が1、3、5の場合です。

 

(2×3×3×3)×4=216通り

 

よって、81+216=297

 

1296-297=999通り（答）

大問１（４）平面図形

 

①　まず、ロープの長さを式で表します

 

20×3.14÷2=10×3.14

 

「比の値」がわかればよいので、計算はしないで、式で表すにとどめておくのが、効率的です。

 

半径が3.14倍、中心角が1/2倍になっているので、面積は

 

3.14×3.14×1/2=4.9298倍（答）

 

②　今度はロープの長さが必要です

 

10×3.14=31.4、

 

角オ=180×(9.577/31.4)

 

ここで、180×9.577÷31.4をゴリゴリ計算してもよいのですが、なるべく小さい数のまま計算したい。

 

そこで、9577が素数かどうか、約分できないか、確認しましょう。

 

もし、約分できるとすれば、314÷2=157で割り切れるはず。

 

9577÷157=61

 

よって、

 

角オ=180×(61/200)=54.9度（答）

 

 

一般に、開成の計算は、ひたすら作業量が多い傾向にあります。

 

でも、ここまで解いてみて、

 

「今年は工夫の余地が、かなりありそうだ」

 

という、傾向の変化が感じられます。

大問２「立体図形」

 

（１）だけ解くならば、bとdだけ考えればよいのですが、（２）にも目を通しておくと、結局a、b、c、dすべてが必要です。

 

それならば、いっそのこと、全部まとめて一覧表を作ってしまうのが、効率的です。

 

その際、「比」がわかれば良いことに注目すると、3.14倍はしないこと、当然です。

 

相似比p:qならば、

面積比はp×p:q×q

体積比はp×p×p:q×q×q

 

また、

 

円すいの側面積=母線×半径×円周率

 

です。これらを使い、まとめます。

 

 

（１）

 

体積の比

➡7:37（答）

 

表面積の比

➡(1+4+6):(9+16+14)=11:39（答）

 

（２）

 

体積の比

➡(1+19):(7+37)=20:44=5:11（答）

 

表面積の比

➡(4-1+9+2+10):(1+9-4+16+6+14)=24:42=4:7（答）

 

（２）で、立体Yの表面積を求める際、上から見たときの面積に、注意が必要です。

 

多くの中学入試問題は、円柱の上に小さな円柱をのせるので、上から見た時の表面積は、大きな円柱の上部と同じになります。

 

ところが、本問Yは、ｂの上の面積と下の面積が異なるため、上から見ると、ドーナツのような形に見えます。

 

ここが、ミスしやすいポイントです。

大問３「場合の数」

 

（１）

 

よって、最大7か所、2種類（答）

 

（２）（ア）

 

2列目のぬり方が2通り、4～7列目のぬり方は、（１）の要領から2通りなので、2×2=4通りあります。

 

（２）（イ）

 

1～2列目、4列目、6～7列目の3ブロックに分かれます。

 

それぞれのブロックが、上タイプ、下タイプの2通りに分かれること、すでに経験済みです。

 

2×2×2=8通り（答）

 

（２）（ウ）

 

5か所ぬりつぶすにあたり、同じ番号の列に2か所ぬることはできないので、5列必要です。

 

よって、ぬらない列を2か所選ぶことになります。

 

その選び方によって、ぬる列が1ブロックの場合、2ブロックに分かれる場合、3ブロックに分かれる場合、があります。

 

1ブロックの場合、ぬり方は2通りで、1ブロックになるパターンが3パターンあるので、2×3=6種類。

 

2ブロックの場合、ぬり方は4通りで、2ブロックになるパターンが12パターンあるので、4×12=48種類。

 

3ブロックの場合、ぬり方は8通りで、3ブロックになるパターンが6通りあるので、8×6=48種類。

 

合計6+48+48=102種類（答）

 

（３）（ア）

（３）（イ）（ウ）

 

[図2]の3パターンを左から順に、X、Y、Zとします。

 

Xは、すべてのパターンの右側に、つなげることができます。

 

よって、右端の列がXで終わるぬり方は、前列のX、Y、Zすべての個数の合計になります。

 

Yは、X、Zの右側に、つなげることができます。

 

よって、右端の列がYで終わるぬり方は、前列のX、Zの個数の合計になります。

 

Zは、X、Yの右側に、つなげることができます。

 

よって、右端の列がZで終わるぬり方は、前列のX、Yの個数の合計になります。

 

以上を踏まえて、表を作ると、以下のようになります。

 

 

よって、3列目までは17種類、7列目までは577種類（答）

大問４「速さ・時計算」

 

本問は、「狂った時計」などの呼び名で知られる時計算と、微妙に異なります。

 

通常、狂った時計は、1時間に3分遅れるなどします。

 

そこで、針の進む速さについて、正しい時計との比を求めることによって、解くことができます。

 

ところが、本問の狂った時計は、つねに正しい時刻より5分遅れます。

 

針の進む速さは、等しいのです。

 

ここでミスすると、大混乱が始まります。

 

さて、意味を正確に把握できると、次のことがわかります。

• 2つの長針は分速6度で進み、それらの角度は、常に30度
• 2つの短針は分速0.5度で進み、それらの角度は、常に2.5度

これをもとに、解き進めます。

 

（１）

 

60÷(6-0.5)=10と10/11

 

よって、1時10と10/11分（答）

 

（２）

 

aが先に0度になり、そこから大きくなり始めます。

 

その時、小さくなってきたbと等しくなる時刻を求めます。

 

30+5.5×5=57.5……はじめのb

 

57.5-5.5×□=5.5×□-30

 

□=7と21/22

 

1時7と21/22分（答）

 

（３）

 

a+b+2.5=30、a:b=2:1

 

よって、a=(30-2.5)÷3=55/6

 

(57.5-55/6)÷5.5=290/33……A

 

開成君の時計の長針と正しい時計の短針の角度を□とすると、

 

2.5+□:30+□=1:2、□=25

 

(60+25)÷5.5=170/11……B

 

170/11-290/33=6分40秒（答）

・本年度は、作業量、計算量が多く、時間不足で不合格になった方が多かったのではないかと、推察します。

 

このような問題は、いかに効率的に解けば良いのでしょうか？

 

ここで、小問相互の関係が、重要になってきます。

 

大問の中が、いくつかの小問に分かれている場合、小問（１）をヒントに（２）を解き、（２）をヒントに（３）を解く、という関係が見られることが、多々あります。

 

本年度では、大問２、大問３に、その傾向が顕著です。

 

そこで、小問（１）を解く前に、全ての小問に目を通し、出題者が全体として何をさせようとしているのか、題意を把握してしまうことが、効率化のために有効です。

 

たとえば、大問２では、（１）でb、dだけ求めるより、（２）もふまえてa、b、c、dの一覧表を作ってしまう方が、効率的です。（「各論」の解説参照）

 

大問３でも、最終的に（ウ）で何をきかれるか意識しながら、（ア）（イ）に取り組むと、（ア）（イ）を解きながら、（ウ）についても思考を巡らすことができて、効率的です。

 

ここでも、3列目までを根性で解いて、7列目を求める際に、ようやく一覧表を作り始めるより、最初から一覧表を作った方が早いでしょう。（「各論」の解説参照）

 

 

・大問４「時計算」では、長針同士、短針同士の角度が「一定」であることに、注目しました。

 

いわば、30度の大きい「Vの字」と、2.5度の小さい「vの字」が、それぞれ、分速6度と0.5度で回っているイメージです。

 

これは、

 

「変わらないものに注目する」

 

という、算数の発想法に基づいています。

 

大問１（３）では、「素因数としての2が2個以上8個以下」について調べるかわりに、「0個、1個」の場合を調べて、全体から引くという方法をとりました。

 

これは、

 

「裏から考える。裏口作戦！」

 

という、算数の発想法に基づいています。

 

大問３（３）では、暗号の種類を、前列のX、Y、Zの個数に対応させて、数えました。

 

これは、

 

「置き換えて考える」

 

という、算数の発想法に基づいています。

 

日頃から、解けた問題についても、算数の発想法を確認していると、必要なときに必要な発想法が、自然と浮かび上がって来るようになります。

 

レッツ算数教室の授業で、最も重視している部分です。