聖光　算数　対策　２０２２年

（１）入試結果

 

聖光２０２２年第１回・算数は、ほぼ例年通りでした。

（聖光学院中学ホームページより引用・算数１５０点満点）

 

（２）出題分野

 

「場合の数」からの出題が、多くなっています。

 

また、「点の移動」「平面図形・移動」など、動く図形問題も、多数出題されています。

 

動く図形問題は、図形のみならず、「速さ」「グラフ読み取り」など、多面的な能力を試すことができますし、ルールを説明することで、「算数的読解力」も試すことができます。

 

一見、偏った出題のようにも見えますが、隠れたテーマまで含めれば、総合的な実力を見ていると言えます。

 

（３）難易度

 

各大問の最後の小問が、難しくなっています。

 

全体的には、基本的な問題から、難しい応用問題まで、バランスよく出題されています。

 

難問の配置場所により、精神的プレッシャーを感じることはなく、学力がそのまま反映するタイプです。

 

出題分野＆難易度マップを掲載致します。（難易度は、レッツ算数教室の分析によります）

 

Aが最も易しく、BCDEの順に難しくなっていきます。

 

 

それでは、順に見ていきましょう。

大問１（１）「計算問題」

 

ウオーミングアップ問題です。

 

0.625=5/8は、必須知識です。

大問１（２）「ニュートン算」

 

「牛」も「草」も出てきませんが、ニュートン算です。

• 会場の使用料が「もともと生えていた草」
• 参加者1人につき発生する開催費が、「1日に生える草」
• 参加者1人あたりの入場料が、「1日に食べる草の合計」
• 参加人数が、「草を食べつくすまでの日数」

にあたります。

 

ア+イ×100=3500×100

ア+イ×80=4000×80

 

よって、

 

イ=(3500×100-4000×80)÷(100-80)=1500

 

ア=350000-150000=200000（答）

大問１（３）「割合・仕事算」

 

1/2÷60:1/7÷24=7:5

 

36÷(7+5)×7=21人

 

1/2÷21=1/42……1人1時間の仕事量

 

(1-1/2-1/7)÷(36/42)=5/12時間=25分（答）

大問２「場合の数」

 

（１）

 

900,901,902,903,904,905,906,907,908,909

 

910,911,

 

920,930,940,950,960,970,980,990

 

以上、20個（答）

 

（２）

 

（１）から、0が1つでも含まれていれば、何でも良いという、規則性がわかります。

 

□□0→それぞれの□は1～9まで入るので、9×9=81個

 

□0□→同じく81個

 

□00→1～9の9個

 

81+81+9=171個（答）

 

（３）

条件を満たすのは11個（答）

 

（４）

 

足し算、かけ算とも、計算の順序は、和や積に影響しません（交換法則）

 

よって、大小関係の条件を取り払い、自由に並べかえても、大丈夫です。

 

それが、上の表の右側。（34個）

 

「0を含む場合」「含まない場合」を合計すると

 

171+34=205個（答）

大問３「点の移動」

 

（１）

 

12秒後、PはCから4cm進み、QはちょうどFから折り返すところです。

 

11÷(2+5)=11/7

 

12+11/7=13と4/7秒後……ア（答）

 

30秒後、PはC、QはCDの真ん中をCに向かっています。

 

5÷(2+5)=5/7

 

30+5/7=30と5/7秒後……イ（答）

 

（２）

 

20÷2=10、30÷2=15

 

よって、Pが1回目にCD上を移動するのは、10～15秒後

 

(5+10+5+5+10)÷10=3.5……ウ（答）

 

(5+10+5+5+10+5+5+10)÷15=11/3=3と2/3……エ（答）

 

（３）

 

まず、35秒後にQがDにいるような速さを求めます 

 

95÷35=2と5/7、105÷35=3、135÷35=3と6/7

 

これらは、いずれもPが1回目にCD上を移動する間にQと重なっています

 

よって、2と5/7、3、3と6/7（答）

大問４「場合の数」

 

（１）

 

5×4×5×4×3=1200通り（答）

 

（２）（ア）

 

3×3×2=18通り（答）

 

（２）（イ）

 

18の倍数とは、9の倍数かつ偶数。

 

5+5+5=15より、各位の数の和は最大15だから、各位の数の和は9に確定。しかも、偶数を含む。

 

そのような組み合わせは(5,2,2)(4,4,1)(4,3,2)

 

数の順序と色も考えます。

 

（たとえば、最初の522は、5の色が3通り、2の色は1つ目が3通り、2つ目は2通り）

• 522→3×3×2=18
• 252→3×3×2=18
• 144→3×3×2=18
• 414→3×3×2=18
• 432→3×3×3=27
• 342→3×3×3=27
• 324→3×3×3=27
• 234→3×3×3=27

合計180通り（答）

 

（３）

 

4個の玉のうち、同じ数が3個、異なる数が1個だったとします。

 

これを、AAABとします。

 

Aのそれぞれの色は異なるので、並べかえは3×2×1=6通りありますが、Bは色がどうであれ、もう選び終わっているので、1通りです。

 

よって、AAABの並べ方は6×1=6通りあります。

 

同様に、AABA,ABAA,BAAAも6通りずつあります。

 

よって、色による並べかえを考えない4つの整数の和は

 

106656÷6=17776

 

AAAB＋AABA＋ABAA＋BAAA=17776

 

A×3333+B×1111=17776

 

A×3+B×1=16

 

(A,B)=(5,1)

 

よって、（1,5,5,5）（答）

 

同じことを、AABB、AABCについても行います。

 

AABBの場合

 

106656÷4=26664

 

A×3333+B×3333=26664

 

A+B=8

 

（A,B）=（5,3）

 

よって、（3,3,5,5）（答）

 

AABCの場合

 

106656÷2=53328

 

A×6666+B×3333+C×3333=53328

 

A×6+B×3+C×3=48

 

（A,B,C）=（5,4,2）（4,5,3）

 

よって（2,4,5,5）（3,4,4,5）（答）

大問５「平面図形・移動」

 

（１）（ア）

 

9÷(1+2)=3→3秒後に重なり始める

9÷(1+2)=3→3秒後に9cm

9÷(1+2)=3→3秒後に0cm

9÷(2-1)=9→9秒後に9cｍ

 

（２）（イ）

 

（ア）は最終的にＢでピッタリ重なりました。

 

よって、（イ）は（ア）を逆向きに戻したのと同じことです。

 

（ア）と線対称な形のグラフになります。

 

（２）（ウ）

 

ＲとＳが交わる時、

 

・横方向の重なりは、（１）のアと同じ。

 

・たて方向の重なりは、（１）のイと同じ。

 

（１）の2つのグラフの、5秒後の値を読み取ります。

 

重なりは長方形で、たて4cm、横6cm

 

よって、面積は4×6=24㎠（答）

 

（２）（エ）

 

（１）の2つのグラフを重ねてかいたとき、交わる部分の時間を読み取ります。

 

ただし、重なり0cmのときは、正方形ではなく、点になってしまうので、除きます。

 

4.5、13.5（答）

・聖光らしい、骨のある問題が並んでいます。

 

でも、天才的なひらめきより、地道な勉強の積み上げが必要です。

 

努力が報われます。頑張りましょう。

 

・本年度は特に、「場合の数」の大問が２問出題されています。

 

１問目（大問２）は、出題者の方で、ある程度、場合分けをしているので、誘導に乗って解き進めます。

 

出題者は、0の有無で場合分けしていますが、それはなぜか？考えてみると、力がつきます。

 

場合分けのお手本のような問題なので、よく味わいましょう。

 

 

２問目（大問４）は、自分で場合分けしないといけません。

 

特に（３）は難しいでしょう。

1. 「4つの数が3,4,4,5になる玉の並べ方」
2. 「いま、4個の玉を選んだところ、数が3,4,4,5になった。この玉の並べ方」

この違いを理解する必要があります。

 

１では、これから玉を選ぶので、3の玉の色は3通り考えられますが、2では、もう玉を選び終わっているので、3の玉の色は1通りに決まっています。

 

問題文の意味が微妙に異なり、そこを読み取る「算数的読解力」が求められます。

 

・大問５は、「対称性」に気づくかどうかが、ポイントです。

 

大問４が、かなり時間のかかる問題なので、大問５は対称性を利用してサクッと解かないと、時間不足で終了となった可能性があります。

 

合否を分ける１問だったのではないでしょうか。

 

「対称性」のような発想は、決して天才だけのものではありません。

 

正しいポイントをおさえて、こつこつ勉強していれば、十分身につく能力です。

 

レッツ算数教室では、「算数の発想法」を重視した授業を行っています。

 

「算数の発想法」については、当ホームページ内

 

算数の成績を上げるには？（タップ・クリック可能）

 

の中で、さらにくわしくご説明しています。