豊島岡　算数　対策　２０１８年

豊島岡２０１８年第１回算数は、例年通りの出題傾向、難易度でした。

 

「平面図形」「立体図形（切断）」「速さ」「場合の数」「規則性」など、豊島岡らしい問題が並んでいます。

 

順に見ていきましょう。

 

大問１

（１）「計算の工夫」

 

プラス側は、13579と奇数が並び、マイナス側は、2468と偶数が並んでいます。

 

奇数も偶数も２ずつ大きくなっていきます。

 

うまく組み合わせると、「差が一定」になりそう……ということで、３と２が組み合わさるように工夫します。

• 13579-2468=11111
• 1357-246=1111
• 135-24=111
• 13-2=11
• 1

となります。

 

よって、11111+1111+111+11+1=12345

 

（２）「割合（売買損益算）」

 

仮に３割引きにしてくれなければ、350÷(1-0.3)=500円でした。

 

500-30×5=350円……50円のお菓子の代金合計。

 

350÷50=7個（答え）

 

（３）「等差数列の和」

 

45+46+47+48+……+54=(45+54)×10÷2=495（答え）

 

一の位を四捨五入して５０となる整数は、１０個あります。

 

54-45=9個としないように、注意しましょう。

 

（４）「不等式」

 

９＜１２＜１６なので、１辺の長さが3cmの正方形と、4cmの正方形について、何個並べられるか調べてみると、

 

20÷3=6あまり2。20÷4=5。

 

よって、面積12㎠。の正方形は５個か６個並べられます。

 

では、ちょうど６個並べられるぎりぎりの正方形の一辺の長さは？

 

20÷6=10/3cm

 

その面積は100/9=11と1/9㎠。

 

これより少しでも大きいと、６個はムリ。５個になってしまいます。

 

５個（答え）

 

大問２

（１）「不定形のつるかめ算」

 

５点の問題をすべて正解しても５２点ということは、何問か？

 

52÷5＝10あまり2

 

５点の問題は最大１０問のようにも見えますが、４点の問題で、残りちょうど２点を取るのはムリ。

 

５点の問題は８問、４点の問題は３問でちょうど５２点。

 

そこで、仮に、５点の問題は全部で８問。４点の問題は、(100-5×8)÷4=15問とします。

 

花子さんは、５点の問題と４点の問題を合わせて７問間違えて６７点。すなわち、100-67=33点落としている。

 

ここは、ふつうのつるかめ算。

 

(33-4×7)÷(5-4)=5

 

よって、５点の問題を５問、４点の問題を7-5=2問落としたと確定します。

 

５点の問題は８問、４点の問題は１５問あるので、このような落とし方は可能。

 

よって、答えは８問。

 

５点の問題を４問減らし全部で４問とし、４点の問題を５問増やして全部で２０問としても、合計１００点になります。

 

でも、この場合、花子さんが５点の問題を５問間違えたことと矛盾するので、ナシ。

 

最後の確認を忘れても、本問は運よく正解できますが、レベルの高い応用問題のときは、致命傷になります。

 

（２）「規則性（周期）」

 

信号Aの周期は、5+3=8秒。信号Bの周期は、4+8=12秒。8と12の最小公倍数は24なので、24秒までは、根性で書き出します。

 

すると、信号Aと信号Bは、0～4秒までの4秒間と、13～14秒までの1秒間、共に点灯していることがわかります。

 

5分＝60×5＝300秒

 

300÷24＝12あまり12

 

よって、まるまる12周期と12秒あります。

 

(4+1)×12+4=64秒間（答え）

 

（３）「割合（食塩水）」

 

てんびんで解きましょう。

 

てんびんの横ぼう全体を６メモリに設定します。

 

容器Aから100g、容器Bから200g取り出して混ぜると10%の食塩水になるということは、Aから４つ目のメモリが10%ということです。

 

容器Aから100g、容器Bから100g取り出して混ぜると12%の食塩水になるということは、Aから３つ目のメモリが12%ということです。

 

容器Aから200g、容器Bから100g取り出して混ぜると、Aから２つ目のメモリの濃度になります。

 

１メモリ2%なので、14%（答え）

 

（４）「平面図形」

 

色のついた部分を囲むように補助線を引くと、一辺6cmの正三角形が５個できます。

 

よって、求める周の長さは、半径6cm中心角60度のおうぎ形の弧が10個分と、6cmの線分５本分の合計です。

 

6×2×3.14÷6×10+6×5=92.8cm

（答え）

 

大問３「場合の数」

 

（１）３けたの整数なので、百の位は１、２、３、４、５の可能性があります。

 

百の位が１の場合、残りの２けたは、04,13,22,31,40の５通り。

 

百の位が２の場合、残りの２けたは、03,12,21,30の４通り。

 

百の位が３の場合、残りの２けたは、02,11,20の３通り。

 

百の位が４の場合、残りの２けたは、01,10の２通り。

 

百の位が５の場合、残りの２けたは、00の１通り。

 

合計5+4+3+2+1=15通り。（答え）

 

各位の数の和が５なので、〇を５個かきます。○○○○○

 

「３けた」である以上、百の位は最低でも１なので、〇を一つだけ、百の位用に取り分けます。

 

〇-○○○○

 

一番めんどくさい所（最も条件の厳しい所＝百の位）から片付けるということです。

 

これで自由になりました。

 

残りの４個を、百の位、十の位、一の位で、分け合います。

 

分けるときの仕切り棒を、２本用意します。//

 

たとえば、131は

 

〇-/○○○/〇

 

と表します。203ならば、

 

○-○//○○〇

 

と表します。

 

百の位用に取り分けた１個以外、〇４個と/２本を並べれば、３けたの整数が決まります。○○○○//

 

その方法は、６個の置き場所のうち、/の置き場所２か所を選ぶことと同じ。（６人の中から、そうじ当番２人を選ぶという、あれと同じ）

 

よって、

 

6×5÷2＝15通り（答え）

 

（２）（１）では３けたでしたが、今度は４けたです。

 

そして、「奇数」という条件が加わりました。

 

「奇数」の性質は、１の位が１，３，５，７，９。

 

ということは、１の位の数字を決めれば、「奇数」の条件がクリヤーでき、あとは、３けたの数なので、（１）が利用できるかもしれません。

 

１の位が１の場合……３けたで、〇が5個なので、まさに（１）と同じ。１５通り。

 

１の位が３の場合……３けたで、〇が３個。千の位用に1個取り分けると、〇が２個と/が2本。4×3÷2＝6通り。

 

１の位が５の場合……1005の１通り。

 

よって、15+6+1=22通り（答え）

 

大問４「速さ」

（１）

• A(家→図)+B(図→公)=22分
• B(家→図)+A(図→公)=23分
• ２人合計45分

順番を入れ替えます。

• A(家→図)+A(図→公)=20分
• B(家→図)+B(図→公)=□分
• ２人合計45分

□＝45-20=25分（答え）

 

（２）AさんとBさんの時間の比は20:25=4:5。

• 〇4+□5=22分
• 〇5+□4=23分

とします（倍数算）。

 

よって、〇1=3分。〇4=12分（答え）

 

（３）AさんとBさんの速さの比は、時間の比の逆比なので、5:4。よって、距離の比も5:4。

 

家からAさんとCさんが出会った地点までの距離を５とすると、その時Bさんは、家から４の距離にいました。

 

差の１の距離をBさんは１分かかって進むので、４の距離は４分かかったことになります。

 

すなわち、AさんとCさんが出会うのは、出発してから４分後。場所は、Aさんが全部で20分かかる道程のうち、4分の所。1/5の地点。

 

残りの4/5の距離は360×4=1440m。

 

よって、家から公園までの距離は

 

1440÷4×5=1800m=1.8km（答え）

 

大問５「平面図形（ベンツ切り）」

 

（１）三角形BHDと三角形AFHの面積が等しいので、ABとFDは平行。

 

よって、BD:DE=1:1。三角形HDE=2㎠。三角形HEF=2㎠。

 

よって、BH:HF=4:2=2:1（答え）

 

（２）三角形ABD=三角形ADE=6㎠。

よって、三角形ABH=4㎠。三角形AEC=20-6×2=8㎠。三角形FEC=8÷2=4㎠。

 

よってAG:GC=三角形ABF：三角形CBF=(4+2):(2+2+2+4)=6:10=3:5（答え）

 

大問６「立体図形」

 

（１）APとQRが交わっている様子を真上から見ると、正方形ABCDの対角線ACとBDが交わっている様子と、ぴったり重なります。

 

APとQRは、互いに他を２等分している。つまり、AQPRは平行四辺形。

 

「直方体斜め切り」です。

 

AE+PG=QF+RHより、HR=2cm（答え）

 

（２）（１）と同じ理由で、ASPTは平行四辺形。よって、UはAPの真ん中の点。

 

点Uの高さは、AとPの平均だから、3cm。

 

よって、求める体積は、5×5×3÷3=25㎤。（答え）

 

（３）３点AVPを通る平面で、立方体を切断すると、WはFと一致します。

（なぜならば、VPとAWは平行だから）

 

よって、三角形PVXと三角形AWXは相似で、相似比は4:5。

 

よって、点Xは、APを９等分したうちの点Pから４つ目の点。

 

点Xの高さは、1+(5-1)÷9×4=25/9cm

 

求める体積は、

 

5×5×25÷9÷3=625/27㎤。（23と27分の4㎤。)

 

学校公表の受験者平均点は100点満点で61.3点。合格者平均点は74.8点でした。

 

手も足も出ない超難問は出題されていませんが、後半の大問４～６は、かなりのレベルの応用問題です。

 

受験者平均点、合格者平均点とも、相当に高いといえます。

 

対策ですが、やはり、中レベルの問題までは、満点で乗り切る必要があります。

 

大問１～３は、捨て問ゼロです。大問４（１）、大問６（１）も、豊島岡の受験生であれば、正答率は高いと思われます。

 

残りの問題。大問４（２）（３）、大問５（１）（２）、大問６（２）（３）のうち、１問か２問解けると、合格者平均点にぎりぎり届くか、届かないまでも、何とか合格できるレベルではないかと、推定します。

 

豊島岡は、「平面図形」「立体図形」の問題が配点上大きな部分を占めています。

 

「図形問題が得意な人が有利」と、一応は言えます。

 

実際、２０１８年第１回は、図形問題がほどほどの難易度だったので、図形問題の得意な人、図形問題を特訓してきた人は、報われたはずです。

 

でも、年によっては、図形問題が難しすぎて、そこを得点源にすると、かえって不利になることもあります。

 

また、大問１～２の小問群も、必ずしも易しいとは限りません。

 

「ここは必ず満点をとらなければ」という思い込みは、危険です。

 

全分野、まんべんなく準備し、本番でも臨機応変の対応が必要です。